Quelltext der Seite 3-SAT

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{{Dieser Artikel|behandelt das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik. Zum Fernsehsender [[3sat]] siehe dort.}}

'''3-SAT''' ist eine Variante des [[Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik|Erfüllbarkeitsproblems der Aussagenlogik]] (von {{enS|''satisfiability''}} ‚Erfüllbarkeit‘, kurz ''SAT'').

Es beschäftigt sich mit der Frage, ob eine in [[Konjunktive Normalform|konjunktiver Normalform]] vorliegende [[Aussagenlogik|aussagenlogische]] [[Formel]] <math>F</math>, die höchstens 3 [[Literal]]e pro [[Disjunktionsterm|Klausel]] enthält, erfüllbar ist.
Ein Beispiel für eine solche Formel:

: <math>F = (\overline{x_1} \vee x_2 \vee x_3) \wedge (x_2 \vee \overline{x_3} \vee x_4) \wedge (x_1 \vee \overline{x_2})</math>

Gesucht ist nun eine [[Belegung (Mathematik)|Belegung]] der Variablen <math>x_1</math> bis <math>x_4</math> mit 0 oder 1, für die F den Wert 1 (wahr) annimmt. Falls es eine solche Belegung gibt, ist F erfüllbar, sonst nicht. Wie bei allen [[NP-Vollständigkeit|NP-vollständigen]] Problemen ist es „einfach“, einen Lösungskandidaten auf seine Gültigkeit zu überprüfen, hier also festzustellen, ob eine vorgegebene Belegung der Variablen die Formel erfüllt. Das Auffinden eines gültigen Lösungskandidaten ist jedoch im Allgemeinen „schwierig“, da heute keine Methode bekannt ist, eine erfüllende Belegung in polynomieller Zeit zu finden.

Allgemeiner definiert man das ''k-SAT-Problem'' als die Frage, ob eine beliebige aussagenlogische Formel, die in konjunktiver Normalform mit k Literalen pro Klausel vorliegt, erfüllbar ist. Das k-SAT-Problem für <math>k > 3</math> lässt sich auf 3-SAT zurückführen, damit gilt: Alle k-SAT-Probleme für <math>k \geq 3</math> sind NP-vollständig.<ref name="gritzmann2013">{{Literatur |Autor=[[Peter Gritzmann]] |Titel=Grundlagen der Mathematischen Optimierung |TitelErg=Diskrete Strukturen, Komplexitätstheorie, Konvexitätstheorie, Lineare Optimierung, Simplex-Algorithmus, Dualität |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-8348-2011-2 |DOI=10.1007/978-3-8348-2011-2 |Seiten=206–208}}</ref> 2-SAT liegt in der [[Komplexitätsklasse]] [[NL (Komplexitätsklasse)|NL]], 1-SAT liegt in der Komplexitätsklasse [[L (Komplexitätsklasse)|L]].

Das allgemeine [[Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik]] (SAT) lässt sich auf 3-SAT [[Polynomialzeitreduktion|polynomiell reduzieren]], und somit ist 3-SAT nach dem [[Satz von Cook]] [[NP-Vollständigkeit|NP-vollständig]].

3-SAT lässt sich wiederum u.&nbsp;a. auf das [[Cliquenproblem]], das [[Rucksackproblem]] und auf den [[Hamiltonkreisproblem|gerichteten Hamiltonkreis (DHC)]] polynomiell [[Reduktion (theoretische Informatik)|reduzieren]], wodurch auch diese Probleme als [[NP-Schwere|NP-schwer]] nachgewiesen sind.

== Varianten ==
=== Exakt-3-SAT ===
Wenn jede Klausel der Formel genau drei bzw. k Literale enthält, spricht man von Exakt-3-SAT bzw. Exakt-k-SAT.<ref name="gritzmann2013"/> Manchmal wird schon in der Definition von 3-SAT verlangt, dass alle Klauseln genau drei Literale enthalten. Auch diese Variante des Problems ist NP-vollständig, selbst dann, wenn man zusätzlich auch noch verlangt, dass alle Literale in einer Klausel verschieden sind.<ref name="gritzmann2013"/>

=== Max-3-SAT ===
Hier wird nicht verlangt, dass jede Klausel wahr wird, sondern möglichst viele davon. Bereits eine zufällige Belegung der Variablen liefert im Erwartungswert, dass 7/8 der Klauseln erfüllt sind (denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Klausel ''nicht'' erfüllt ist, ist lediglich (1/2)^3 – vorausgesetzt, dass Literale nicht mehrfach in einer Klausel auftreten). Die Folge daraus ist auch, dass jedes derartige 3-SAT-Problem mit weniger als 8 Klauseln erfüllbar ist.

Max-3-SAT ist ebenfalls NP-vollständig, da die Reduktion zum normalen 3-SAT nur darin besteht zu fragen, ob die Gesamtanzahl der Klauseln erfüllt werden kann.

=== Not-All-Equal-3-SAT ===
Es handelt sich um 3-SAT, wobei aber nur eine Belegung akzeptiert wird, die in jeder Klausel mindestens ein falsches und ein wahres Literal bewirkt. Not-All-Equal-3-SAT ist ebenfalls NP-vollständig.

== Literatur ==
* [[Uwe Schöning|Schöning, Uwe]]: [https://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/~hartmann/nwgruppe/talks/3sat.ps.gz Wettlauf um den schnellsten SAT-Algorithmus] ([[gzip|GZIP]]; 78&nbsp;kB)
* [[Jon Kleinberg]], [[Éva Tardos]]. Algorithm Design. Pearson International Edition, 2006. ISBN 0-321-37291-3. Seiten 724ff (MAX-3-SAT)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Komplexitätstheorie]]

[[en:Boolean satisfiability problem#3-satisfiability]]