Quelltext der Seite Δ-Lemma

Das '''<math>\Delta</math>-Lemma''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Satz aus der [[Kombinatorik|kombinatorischen]] [[Mengenlehre]]. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der [[Forcing]]-Methode.

== Aussage ==
Sei <math>D</math> eine Familie von Mengen, und <math>d</math> eine weitere Menge. <math>D</math> heißt ein '''<math>\Delta</math>-System''' mit Wurzel <math>d</math>, falls gilt:
* <math>\forall x\neq y\in D: x\cap y=d</math>, der Schnitt zweier Mengen aus <math>D</math> ist also konstant.
Das <math>\Delta</math>-Lemma besagt nun: Jede [[Überabzählbarkeit|überabzählbare]] Familie [[endliche Menge|endlicher Mengen]] enthält ein überabzählbares <math>\Delta</math>-System.

== Verallgemeinerung ==
Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien <math>\lambda<\mu</math> [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]] mit
* <math>\mu</math> ist [[reguläre Kardinalzahl|regulär]]: <math>\mu=cf(\mu)</math>
* Für alle <math>\alpha<\mu</math> gilt: <math>\alpha^{<\lambda}:=\sup_{\gamma<\lambda}\alpha^{\gamma}<\mu</math> (siehe [[Kardinalzahlarithmetik]]),
dann gibt es für jede Familie <math>I</math> mit <math>\left|I\right|=\mu</math> und <math>\left|a\right|<\lambda</math> für <math>a\in I</math> ein <math>\Delta</math>-System der Mächtigkeit <math>\mu</math>. Setzt man <math>\lambda=\aleph_0</math> und <math>\mu=\aleph_1</math>, so erhält man obigen Spezialfall.

== Literatur ==
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
* [[Kenneth Kunen]]: ''Set Theory. An Introduction to Independence Proofs'' (= ''Studies in Logic and the Foundations of Mathematics.'' Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0.

{{SORTIERUNG:DeltaLemma}}
[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)]]